在概率论与数理统计中，正态分布（Normal Distribution）是一种非常重要的连续型随机变量的概率分布形式。其概率密度函数通常表示为：
\[
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
\]
其中，\(\mu\) 是分布的均值（期望值），\(\sigma\) 是标准差，\(\sigma^2\) 是方差。
为了更好地理解正态分布的性质，我们接下来详细推导其期望值 \(E(X)\) 和方差 \(Var(X)\) 的公式。
一、期望值 \(E(X)\) 的推导
根据定义，随机变量 \(X\) 的期望值为：
\[
E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx
\]
将正态分布的概率密度函数代入上式：
\[
E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx
\]
通过变量替换简化计算。令 \(z = \frac{x - \mu}{\sigma}\)，则有 \(x = \mu + z\sigma\)，且 \(dx = \sigma dz\)。当 \(x\) 范围从 \(-\infty\) 到 \(+\infty\) 时，\(z\) 的范围同样为 \(-\infty\) 到 \(+\infty\)。因此，积分变为：
\[
E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} (\mu + z\sigma) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz
\]
将其拆分为两部分：
\[
E(X) = \mu \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz + \sigma \int_{-\infty}^{+\infty} z \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz
\]
注意到第一项是标准正态分布的概率密度函数在整个实数域上的积分，结果为 1；第二项中的被积函数是奇函数，而积分区间是对称的，因此该积分结果为 0。最终得到：
\[
E(X) = \mu
\]
即正态分布的期望值等于其参数 \(\mu\)。
二、方差 \(Var(X)\) 的推导
随机变量 \(X\) 的方差定义为：
\[
Var(X) = E[(X - E(X))^2]
\]
由于已知 \(E(X) = \mu\)，所以 \(X - E(X) = X - \mu\)。于是方差可以写成：
\[
Var(X) = E[(X - \mu)^2] = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \mu)^2 f(x) dx
\]
再次利用正态分布的概率密度函数代入：
\[
Var(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \mu)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx
\]
类似地，采用变量替换 \(z = \frac{x - \mu}{\sigma}\)，则 \(x - \mu = z\sigma\)，\(dx = \sigma dz\)。代入后积分变为：
\[
Var(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} (z\sigma)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz
\]
提取常数项并化简：
\[
Var(X) = \sigma^2 \int_{-\infty}^{+\infty} z^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz
\]
记 \(I = \int_{-\infty}^{+\infty} z^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz\)，这是标准正态分布的二阶矩。根据正态分布的性质，标准正态分布的二阶矩为 1。因此：
\[
Var(X) = \sigma^2 \cdot 1 = \sigma^2
\]
即正态分布的方差等于其参数 \(\sigma^2\)。
结论
通过上述推导可知，正态分布的期望值和方差分别为：
\[
E(X) = \mu, \quad Var(X) = \sigma^2
\]
这一结论不仅揭示了正态分布的核心特性，也为实际应用提供了理论基础。无论是数据分析还是模型构建，正态分布始终是一个不可或缺的重要工具。
