在统计学中，正态分布是一种非常常见的概率分布形式，广泛应用于自然科学、社会科学以及工程领域。它也被称为高斯分布，具有对称的钟形曲线特征。由于其良好的数学性质和实际应用价值，正态分布在数据分析中占据着核心地位。
本文将通过几个具体例子，介绍如何进行正态分布的概率计算，帮助读者更好地理解这一重要的统计工具。
一、正态分布的基本概念
正态分布由两个参数决定：均值（μ）和标准差（σ）。记作 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，其中：
- μ 表示数据的平均值；
- σ² 表示方差，σ 是标准差，衡量数据的离散程度。
正态分布的概率密度函数为：
$$
f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
$$
虽然这个公式看起来复杂，但在实际计算中，我们通常借助标准正态分布表或统计软件来完成。
二、标准正态分布与Z分数转换
为了方便计算，我们可以将任意正态分布转换为标准正态分布（均值为0，标准差为1），这称为标准化过程。对于一个服从 $ N(\mu, \sigma^2) $ 的随机变量 $ X $，其对应的 Z 分数为：
$$
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
$$
此时，$ Z \sim N(0, 1) $，我们可以通过查标准正态分布表或使用计算器来找到相应的概率。
三、典型例题解析
例题1：求某个区间内的概率
假设某班级学生的身高服从正态分布，均值为170厘米，标准差为5厘米。求学生身高在165到175厘米之间的概率。
解法步骤：
1. 计算Z分数：
- 对于165厘米：$ Z_1 = \frac{165 - 170}{5} = -1 $
- 对于175厘米：$ Z_2 = \frac{175 - 170}{5} = 1 $
2. 查标准正态分布表：
- $ P(Z < 1) \approx 0.8413 $
- $ P(Z < -1) \approx 0.1587 $
3. 求区间概率：
$$
P(165 < X < 175) = P(-1 < Z < 1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826
$$
结论： 约有68.26%的学生身高在165至175厘米之间。
例题2：求某一数值以下的概率
已知某地区居民月收入服从正态分布，均值为8000元，标准差为1500元。求月收入低于7000元的人所占比例。
解法步骤：
1. 计算Z分数：
$$
Z = \frac{7000 - 8000}{1500} = -0.67
$$
2. 查表得：
$$
P(Z < -0.67) \approx 0.2514
$$
结论： 约有25.14%的居民月收入低于7000元。
例题3：求某一百分位数
设某次考试成绩服从正态分布，均值为70分，标准差为10分。问第90百分位的分数是多少？
解法步骤：
1. 查标准正态分布表，找到对应Z值使得 $ P(Z < z) = 0.90 $，查得 $ z \approx 1.28 $
2. 反推原始分数：
$$
X = \mu + Z \cdot \sigma = 70 + 1.28 \times 10 = 82.8
$$
结论： 第90百分位的分数约为82.8分。
四、小结
正态分布的概率计算是统计分析中的基础内容，掌握其基本原理和计算方法有助于我们在实际问题中进行合理的数据分析与决策。通过标准化转换，我们可以利用标准正态分布表或软件工具快速求解各种概率问题。
无论是求区间概率、单侧概率还是百分位数，正态分布都提供了强有力的工具。在今后的学习和工作中，灵活运用这些方法将极大地提升我们的数据分析能力。
