【微积分常用公式有哪些】微积分是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济等多个领域。掌握一些常用的微积分公式，能够帮助我们更高效地进行计算和分析。以下是一些在微积分中经常用到的基本公式，包括导数、积分以及一些基本的微分方程形式。
一、导数常用公式
| 函数 | 导数 |
| $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、积分常用公式
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ f(x) = x^n $（$ n \neq -1 $） | $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | ||
| $ f(x) = \sin x $ | $ \int \sin x dx = -\cos x + C $ | ||
| $ f(x) = \cos x $ | $ \int \cos x dx = \sin x + C $ | ||
| $ f(x) = e^x $ | $ \int e^x dx = e^x + C $ | ||
| $ f(x) = \frac{1}{x} $ | $ \int \frac{1}{x} dx = \ln | x | + C $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C $ | ||
| $ f(x) = \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ |
三、基本微分方程类型
| 微分方程类型 | 一般形式 | 解法说明 |
| 可分离变量方程 | $ \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) $ | 分离变量后积分求解 |
| 线性微分方程 | $ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) $ | 使用积分因子法 |
| 齐次微分方程 | $ \frac{dy}{dx} = F\left(\frac{y}{x}\right) $ | 令 $ y = vx $ 转换为可分离变量方程 |
| 二阶常系数线性微分方程 | $ ay'' + by' + cy = 0 $ | 求特征方程的根，根据根的情况写出通解 |
四、泰勒展开与麦克劳林展开
泰勒展开用于将函数表示为无穷级数，麦克劳林展开是泰勒展开在 $ x=0 $ 处的特殊情况。
| 函数 | 麦克劳林展开式 | ||
| $ e^x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $ | ||
| $ \sin x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} $ | ||
| $ \ln(1+x) $（$ | x | < 1 $） | $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} $ |
通过掌握这些常见的微积分公式，可以大大提升在数学问题解决中的效率和准确性。建议在学习过程中多加练习，结合实际例子加深理解。
