【商的导数公式是什么】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。当遇到两个函数相除的形式时，即“商”的形式，就需要使用商的导数法则来求解其导数。本文将对商的导数公式进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、商的导数公式
若函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $，则其导数为：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
这个公式可以简记为：分子导乘分母减去分母导乘分子，再除以分母的平方。
二、公式解析
| 项 | 含义 | 说明 |
| $ u(x) $ | 分子函数 | 被除的函数 |
| $ v(x) $ | 分母函数 | 除以的函数 |
| $ u'(x) $ | 分子的导数 | 对分子求导 |
| $ v'(x) $ | 分母的导数 | 对分母求导 |
| $ [v(x)]^2 $ | 分母的平方 | 用于分母部分 |
三、示例说明
例如，设 $ f(x) = \frac{x^2}{\sin x} $，则：
- $ u(x) = x^2 $，$ u'(x) = 2x $
- $ v(x) = \sin x $，$ v'(x) = \cos x $
根据商的导数公式：
$$
f'(x) = \frac{2x \cdot \sin x - x^2 \cdot \cos x}{(\sin x)^2}
$$
四、总结
商的导数公式是微积分中处理分式函数导数的重要工具，掌握该公式有助于快速求解复杂函数的导数问题。通过理解公式的结构和含义，能够更灵活地应用在实际计算中。
表格总结
| 项目 | 内容 |
| 公式名称 | 商的导数公式 |
| 表达式 | $ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $ |
| 适用对象 | 两个可导函数的商（分母不为零） |
| 记忆口诀 | 分子导乘分母，减去分母导乘分子，再除以分母的平方 |
| 示例 | $ f(x) = \frac{x^2}{\sin x} \Rightarrow f'(x) = \frac{2x \sin x - x^2 \cos x}{\sin^2 x} $ |
通过以上内容，我们可以清晰地了解商的导数公式及其应用方式，为后续的数学学习打下坚实基础。
