【隐函数求导例题,求例15,16,19详细的求导过程】在微积分中，隐函数求导是一个重要的知识点。当一个函数不能显式地表示为 $ y = f(x) $ 的形式时，我们通常需要使用隐函数求导的方法来求出导数。以下是针对教材中例题15、16、19的详细求导过程总结，并以表格形式呈现结果。
一、例题15：
题目：设 $ x^2 + y^2 = 25 $，求 $ \frac{dy}{dx} $。
求导过程：
1. 对两边对 $ x $ 求导：
$$
\frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(25)
$$
2. 应用求导法则：
$$
2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0
$$
3. 移项并解出 $ \frac{dy}{dx} $：
$$
2y \cdot \frac{dy}{dx} = -2x \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}
$$
二、例题16：
题目：设 $ x^3 + y^3 = 6xy $，求 $ \frac{dy}{dx} $。
求导过程：
1. 对两边对 $ x $ 求导：
$$
\frac{d}{dx}(x^3 + y^3) = \frac{d}{dx}(6xy)
$$
2. 应用求导法则：
$$
3x^2 + 3y^2 \cdot \frac{dy}{dx} = 6y + 6x \cdot \frac{dy}{dx}
$$
3. 整理含有 $ \frac{dy}{dx} $ 的项：
$$
3y^2 \cdot \frac{dy}{dx} - 6x \cdot \frac{dy}{dx} = 6y - 3x^2
$$
4. 提取公因式并解出 $ \frac{dy}{dx} $：
$$
\frac{dy}{dx}(3y^2 - 6x) = 6y - 3x^2 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{6y - 3x^2}{3y^2 - 6x}
$$
5. 简化表达式：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}
$$
三、例题19：
题目：设 $ \sin(xy) = x + y $，求 $ \frac{dy}{dx} $。
求导过程：
1. 对两边对 $ x $ 求导：
$$
\frac{d}{dx}[\sin(xy)] = \frac{d}{dx}(x + y)
$$
2. 应用链式法则和乘积法则：
$$
\cos(xy) \cdot (y + x \cdot \frac{dy}{dx}) = 1 + \frac{dy}{dx}
$$
3. 展开并整理：
$$
\cos(xy) \cdot y + \cos(xy) \cdot x \cdot \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}
$$
4. 移项并整理含 $ \frac{dy}{dx} $ 的项：
$$
\cos(xy) \cdot x \cdot \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = 1 - \cos(xy) \cdot y
$$
5. 提取公因式并解出 $ \frac{dy}{dx} $：
$$
\frac{dy}{dx}(\cos(xy) \cdot x - 1) = 1 - \cos(xy) \cdot y
\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1 - y \cos(xy)}{x \cos(xy) - 1}
$$
四、总结表格
| 题号 | 原始方程 | 导数表达式 |
| 15 | $ x^2 + y^2 = 25 $ | $ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} $ |
| 16 | $ x^3 + y^3 = 6xy $ | $ \frac{dy}{dx} = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x} $ |
| 19 | $ \sin(xy) = x + y $ | $ \frac{dy}{dx} = \frac{1 - y \cos(xy)}{x \cos(xy) - 1} $ |
通过以上步骤，我们可以清晰地看到隐函数求导的过程，理解如何处理复合函数和乘积函数的导数问题。这些例题展示了隐函数求导的基本方法和技巧，适用于进一步学习微分方程和相关应用问题。
