【样本方差的计算公式】在统计学中，方差是衡量一组数据与其平均值之间偏离程度的重要指标。样本方差用于描述从总体中抽取的样本数据的离散程度，是统计分析中的基础工具之一。了解样本方差的计算方法有助于我们更准确地分析数据分布情况。
一、样本方差的基本概念
样本方差（Sample Variance）是根据样本数据计算出的方差，用来估计总体方差。与总体方差不同的是，样本方差使用“n-1”作为分母，这是为了对总体方差进行无偏估计，即自由度调整。
二、样本方差的计算公式
样本方差的计算公式如下：
$$
s^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2
$$
其中：
- $ s^2 $：样本方差
- $ n $：样本容量（数据个数）
- $ x_i $：第 $ i $ 个样本数据
- $ \bar{x} $：样本均值
三、计算步骤说明
1. 计算样本均值：将所有数据相加，除以样本数量 $ n $。
2. 计算每个数据与均值的差：即 $ x_i - \bar{x} $。
3. 平方这些差值：得到 $ (x_i - \bar{x})^2 $。
4. 求和：将所有平方差相加。
5. 除以 $ n - 1 $：得到样本方差。
四、示例说明
假设有一个样本数据集：
$ 5, 7, 8, 10, 12 $
步骤1：计算均值
$$
\bar{x} = \frac{5 + 7 + 8 + 10 + 12}{5} = \frac{42}{5} = 8.4
$$
步骤2：计算每个数据与均值的差及其平方
| 数据 $ x_i $ | 差 $ x_i - \bar{x} $ | 平方差 $ (x_i - \bar{x})^2 $ |
| 5 | -3.4 | 11.56 |
| 7 | -1.4 | 1.96 |
| 8 | -0.4 | 0.16 |
| 10 | 1.6 | 2.56 |
| 12 | 3.6 | 12.96 |
步骤3：求和
$$
\sum (x_i - \bar{x})^2 = 11.56 + 1.96 + 0.16 + 2.56 + 12.96 = 29.2
$$
步骤4：计算样本方差
$$
s^2 = \frac{29.2}{5 - 1} = \frac{29.2}{4} = 7.3
$$
五、总结表格
| 概念 | 内容 |
| 定义 | 衡量样本数据与其均值之间的离散程度 |
| 公式 | $ s^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 $ |
| 分母为何用 $ n - 1 $ | 为了无偏估计总体方差，考虑自由度 |
| 计算步骤 | 均值 → 差 → 平方差 → 求和 → 除以 $ n - 1 $ |
| 示例结果 | 对于数据 $ 5, 7, 8, 10, 12 $，样本方差为 7.3 |
通过理解样本方差的计算方法，我们可以更好地掌握数据的波动性，为后续的数据分析和推断提供坚实的基础。
