【极限公式lim大全】在数学分析中，极限是研究函数变化趋势的重要工具，广泛应用于微积分、数列、级数等众多领域。掌握常见的极限公式对于学习和应用数学知识具有重要意义。以下是一些常用的极限公式总结，并以表格形式呈现，便于查阅和记忆。
一、基本极限公式
| 公式 | 说明 |
| $\lim_{x \to a} c = c$ | 常数的极限为其本身 |
| $\lim_{x \to a} x = a$ | 自变量趋于某点时，其极限为该点值 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 重要的三角函数极限 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | 指数函数的基本极限 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ | 对数函数的基本极限 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ | 余弦函数相关极限 |
二、无穷小与无穷大的比较
| 极限表达式 | 结果 | 说明 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 1 | 无穷小量的等价替换 |
| $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ | 0 | 无穷大倒数为0 |
| $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ | $+\infty$ | 右极限趋向正无穷 |
| $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$ | $-\infty$ | 左极限趋向负无穷 |
三、指数与对数函数的极限
| 公式 | 说明 |
| $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ | 定义自然常数e |
| $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e$ | 同上 |
| $\lim_{x \to \infty} \frac{a^x}{x^n} = \infty$（若 $a > 1$） | 指数增长快于多项式 |
| $\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0$ | 指数衰减快于多项式 |
四、数列极限公式
| 公式 | 说明 |
| $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{a}{n}\right)^n = e^a$ | 数列极限定义 |
| $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ | 常见收敛数列 |
| $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n} = 0$ | 阶乘增长慢于幂函数 |
| $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$ | 根号下的n趋于1 |
五、洛必达法则适用条件（间接求极限）
当遇到不定型如 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 时，可使用洛必达法则：
$$
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
$$
前提是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $a$ 处可导且 $g'(x) \neq 0$。
六、常见极限类型总结表
| 极限类型 | 示例 | 结果 |
| 0/0 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ | 1 |
| ∞/∞ | $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{x^3 - 1}$ | 0 |
| 1^∞ | $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ | e |
| 0·∞ | $\lim_{x \to 0^+} x \ln x$ | 0 |
| ∞ - ∞ | $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + x} - x)$ | $\frac{1}{2}$ |
总结
极限公式是数学分析中的基础内容，熟练掌握这些公式有助于解决实际问题，提高解题效率。本文通过总结常见的极限公式并以表格形式展示，希望对学习者有所帮助。建议结合实例进行练习，加深理解，提升应用能力。
