【大学微积分必背公式】微积分是大学数学中的核心内容，广泛应用于物理、工程、经济等多个领域。掌握一些关键的微积分公式，不仅能提高解题效率，还能加深对数学本质的理解。以下是对大学微积分中常见且重要的公式进行系统总结，帮助学生快速记忆和应用。
一、基本求导公式
| 函数 | 导数 |
| $ f(x) = c $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
二、基本积分公式
| 函数 | 积分 | ||
| $ f(x) = x^n $（$ n \neq -1 $） | $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | ||
| $ f(x) = \frac{1}{x} $ | $ \int \frac{1}{x} dx = \ln | x | + C $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ \int e^x dx = e^x + C $ | ||
| $ f(x) = a^x $ | $ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C $ | ||
| $ f(x) = \sin x $ | $ \int \sin x dx = -\cos x + C $ | ||
| $ f(x) = \cos x $ | $ \int \cos x dx = \sin x + C $ | ||
| $ f(x) = \sec^2 x $ | $ \int \sec^2 x dx = \tan x + C $ | ||
| $ f(x) = \csc^2 x $ | $ \int \csc^2 x dx = -\cot x + C $ |
三、常用三角函数积分与导数
| 函数 | 导数 | 积分 | ||
| $ \sin x $ | $ \cos x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ \tan x $ | $ \sec^2 x $ | $ -\ln | \cos x | + C $ |
| $ \sec x $ | $ \sec x \tan x $ | $ \ln | \sec x + \tan x | + C $ |
| $ \csc x $ | $ -\csc x \cot x $ | $ -\ln | \csc x + \cot x | + C $ |
| $ \cot x $ | $ -\csc^2 x $ | $ \ln | \sin x | + C $ |
四、微分法则
| 法则 | 公式 |
| 和差法则 | $ (f \pm g)' = f' \pm g' $ |
| 积法则 | $ (fg)' = f'g + fg' $ |
| 商法则 | $ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $ |
| 链式法则 | $ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ |
五、重要极限公式
| 极限 | 结果 |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $ | $ 1 $ |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} $ | $ 0 $ |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} $ | $ 1 $ |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} $ | $ 1 $ |
六、泰勒展开与麦克劳林展开（部分）
| 函数 | 展开式（在 $ x=0 $ 处） | ||
| $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $ | ||
| $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots $ | ||
| $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots $ | ||
| $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots $（$ | x | < 1 $） |
总结
微积分是理解变化与累积的重要工具，掌握上述基础公式不仅有助于考试复习，也能为后续课程打下坚实基础。建议结合实际题目练习，逐步提升对公式的灵活运用能力。希望这份总结能帮助你更高效地学习微积分！
