【等差等比数列前N项和公式是】在数学中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型，它们的前n项和公式在数列问题中具有重要的应用价值。掌握这些公式不仅有助于快速计算数列的和，还能提升对数列规律的理解。
一、等差数列前n项和公式
等差数列是指从第二项开始，每一项与前一项的差为一个常数的数列。这个常数称为公差，记作d。
公式：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
$$
或
$$
S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d
$$
其中：
- $ S_n $ 表示前n项的和；
- $ a_1 $ 是首项；
- $ a_n $ 是第n项；
- $ d $ 是公差；
- $ n $ 是项数。
二、等比数列前n项和公式
等比数列是指从第二项开始，每一项与前一项的比为一个常数的数列。这个常数称为公比，记作q。
公式：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \neq 1)
$$
当 $ q = 1 $ 时，数列为常数列，此时：
$$
S_n = a_1 \cdot n
$$
其中：
- $ S_n $ 表示前n项的和；
- $ a_1 $ 是首项；
- $ q $ 是公比；
- $ n $ 是项数。
三、总结对比表
| 类型 | 公式（前n项和） | 说明 |
| 等差数列 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ |
| 或 $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | 公差为d | |
| 等比数列 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $ | $ q \neq 1 $ |
| 当 $ q = 1 $ 时，$ S_n = a_1 \cdot n $ | 公比为1时，所有项相等 |
四、实际应用举例
例1：等差数列求和
已知等差数列首项为3，公差为2，求前5项的和。
解：
$$
S_5 = \frac{5}{2}[2 \times 3 + (5 - 1) \times 2] = \frac{5}{2}(6 + 8) = \frac{5}{2} \times 14 = 35
$$
例2：等比数列求和
已知等比数列首项为2，公比为3，求前4项的和。
解：
$$
S_4 = 2 \cdot \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 81}{-2} = 2 \cdot \frac{-80}{-2} = 2 \cdot 40 = 80
$$
通过以上内容可以看出，等差数列和等比数列的前n项和公式各有特点，理解并熟练运用这些公式，能够帮助我们更高效地解决相关的数学问题。
