【weibull分布】Weibull分布是一种广泛应用于可靠性工程、寿命分析和风险评估中的概率分布模型。它由瑞典科学家 Waloddi Weibull 在 1951 年提出，因其灵活性和实用性而被广泛应用。该分布可以描述多种不同的失效模式，包括早期失效、随机失效和磨损失效。
Weibull分布的概率密度函数（PDF）为：
$$
f(x; \beta, \eta) = \frac{\beta}{\eta} \left( \frac{x}{\eta} \right)^{\beta - 1} e^{-(x/\eta)^\beta}
$$
其中：
- $ x \geq 0 $：表示时间或寿命；
- $ \beta > 0 $：形状参数，决定分布的形态；
- $ \eta > 0 $：尺度参数，代表特征寿命。
Weibull分布的特点总结
| 特性 | 描述 |
| 灵活性 | 可以模拟多种失效模式，如早期失效、随机失效、磨损失效 |
| 应用领域 | 可靠性分析、寿命预测、风险评估、机械系统维护 |
| 形状参数 $ \beta $ | <1：早期失效；=1：指数分布（随机失效）；>1：磨损失效 |
| 尺度参数 $ \eta $ | 表示在 $ \beta = 1 $ 时的平均寿命 |
| 概率密度函数 | 非对称分布，适用于非负数据 |
| 累积分布函数 | $ F(x) = 1 - e^{-(x/\eta)^\beta} $ |
Weibull分布的应用场景
| 场景 | 说明 |
| 产品寿命分析 | 用于预测产品的使用寿命和故障率 |
| 可靠性测试 | 分析设备或系统的可靠性和失效模式 |
| 风险管理 | 评估系统或项目的风险水平 |
| 工程维护 | 优化维护周期，降低故障率 |
Weibull分布的优点与局限性
| 优点 | 局限性 |
| 灵活，适应性强 | 参数估计需要较多数据支持 |
| 可用于不同失效阶段 | 对异常值敏感 |
| 便于图形分析（如Weibull图） | 不适合所有类型的数据分布 |
通过合理选择形状参数 $ \beta $ 和尺度参数 $ \eta $，Weibull分布能够有效描述实际系统中的寿命行为，是工程和统计学中不可或缺的工具之一。
