【等比数列介绍】等比数列是数学中一种重要的数列形式，广泛应用于数学、物理、经济等多个领域。它是指从第二项开始，每一项与前一项的比值是一个常数的数列。这个常数称为“公比”，通常用字母 $ q $ 表示。

等比数列的基本特点是：每一项都是前一项乘以一个固定的数（即公比）。如果首项为 $ a_1 $，公比为 $ q $，则等比数列可以表示为：

$$

a_1, \ a_1q, \ a_1q^2, \ a_1q^3, \ \ldots

$$

等比数列在实际问题中有着广泛应用，例如复利计算、放射性衰变、人口增长模型等。

等比数列的基本概念总结

等比数列的性质

1. 通项公式：

若已知首项 $ a_1 $ 和公比 $ q $，第 $ n $ 项为：

$$

a_n = a_1 \cdot q^{n-1}

$$

2. 前 $ n $ 项和：

若公比 $ q \neq 1 $，则前 $ n $ 项和为：

$$

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}

$$

3. 无穷等比数列求和：

当 $ q < 1 $ 时，无穷等比数列的和为：

$$

S = \frac{a_1}{1 - q}

$$

4. 等比中项：

在三个数 $ a $、$ b $、$ c $ 中，若 $ b $ 是 $ a $ 和 $ c $ 的等比中项，则有：

$$

b^2 = ac

$$

实例说明

假设有一个等比数列，首项为 2，公比为 3，那么其前几项为：

$$

2, \ 6, \ 18, \ 54, \ 162, \ \ldots

$$

根据公式计算第 5 项：

$$

a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162

$$

前 4 项和为：

$$

S_4 = 2 \cdot \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 81}{-2} = 2 \cdot 40 = 80

$$

通过以上内容可以看出，等比数列不仅结构清晰，而且具有很强的实际应用价值。掌握其基本公式和性质，有助于更好地理解和解决相关问题。