【连续随机变量的期望与方差公式】在概率论与统计学中，连续随机变量是描述在某个区间内可以取无限多个值的变量。对于连续随机变量，我们通常使用概率密度函数（PDF）来描述其分布特性。在实际应用中，了解连续随机变量的期望与方差是非常重要的，因为它们能够帮助我们理解数据的集中趋势和离散程度。
以下是对连续随机变量期望与方差公式的总结，并通过表格形式进行清晰展示。
一、期望（数学期望）
定义：
连续随机变量 $ X $ 的期望（或数学期望）表示其在所有可能取值上的加权平均，权重为对应的概率密度函数值。
公式：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx
$$
其中：
- $ f(x) $ 是随机变量 $ X $ 的概率密度函数；
- 积分范围是 $ X $ 所有可能取值的区间。
二、方差
定义：
方差衡量的是随机变量与其期望之间的偏离程度，反映了数据的波动性。
公式：
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
其中：
- $ E(X^2) $ 是 $ X $ 的平方的期望；
- $ [E(X)]^2 $ 是期望的平方。
三、常见连续分布的期望与方差公式汇总
| 分布名称 | 概率密度函数 $ f(x) $ | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 均匀分布 $ U(a,b) $ | $ \frac{1}{b-a} $, $ a \leq x \leq b $ | $ \frac{a + b}{2} $ | $ \frac{(b - a)^2}{12} $ |
| 指数分布 $ \text{Exp}(\lambda) $ | $ \lambda e^{-\lambda x} $, $ x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 伽玛分布 $ \text{Gamma}(\alpha, \beta) $ | $ \frac{\beta^\alpha x^{\alpha - 1} e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)} $, $ x > 0 $ | $ \frac{\alpha}{\beta} $ | $ \frac{\alpha}{\beta^2} $ |
| 三角分布 $ T(a, c, b) $ | 在 $ a $ 到 $ b $ 之间，以 $ c $ 为顶点 | $ \frac{a + b + c}{3} $ | $ \frac{a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc}{18} $ |
四、小结
连续随机变量的期望和方差是分析其概率分布的重要工具。期望反映了变量的中心位置，而方差则体现了变量的离散程度。对于不同的连续分布，它们的期望和方差公式各有不同，但都可以通过概率密度函数进行计算。
掌握这些公式不仅有助于理论分析，还能在实际问题中用于建模和预测，如金融风险评估、工程可靠性分析等领域。
如需进一步探讨某类分布的具体计算方法或应用场景，可继续深入学习相关知识。
