遇到本地打印机后台程序服务没有运行的问题，可以尝试以下步骤来解决：

1. 检查打印机服务是否开启：确保打印机后台服务已经启动。可以在“运行”对话框中输入“services.msc”来查看服务列表，找到与打印机相关的服务并确保其处于启动状态。对于不同操作系统，具体操作可能有所不同。

2. 安装或重新安装打印机驱动程序：如果打印机驱动程序有问题，可能导致后台服务无法启动。可以访问打印机制造商的官方网站，按照型号下载并安装最新的驱动程序。如果已安装驱动，尝试卸载后重新安装。

3. 检查打印队列：有时打印任务堆积太多会导致后台程序无法运行。可以打开打印机设置界面，查看打印队列，取消所有打印任务并尝试重新打印。

4. 端口检查：确保打印机连接的端口是开启状态。可以在打印机的设置中查看端口设置，如有必要，更换端口或更改端口设置。

5. 检查系统日志：查看操作系统的系统日志，找到与打印机相关的错误信息，根据提示进行修复。

6. 重启计算机和打印机：有时候简单的重启操作可以解决临时性的故障。先关闭计算机和打印机电源，等待几分钟后再重新开启。

7. 检查硬件连接：确保打印机的数据线连接正确，如使用USB连接，尝试更换USB端口或检查线缆是否损坏。

如果以上方法都无法解决问题，建议联系专业的计算机技术支持人员或打印机的售后服务部门，获取更专业的帮助。另外，确保在进行任何更改或调整之前备份重要数据，以防数据丢失。