【拉氏变换常用公式】拉普拉斯变换（Laplace Transform）是工程数学中一种重要的积分变换方法，广泛应用于控制理论、信号处理、电路分析等领域。它能够将微分方程转换为代数方程，便于求解。为了方便应用，以下总结了一些常见的拉氏变换公式，供参考。
一、拉氏变换基本定义
设函数 $ f(t) $ 在 $ t \geq 0 $ 区间内有定义，则其拉普拉斯变换定义为：
$$
\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt
$$
其中 $ s $ 是复变量，通常要求 $ \text{Re}(s) > a $，以保证积分收敛。
二、常用拉氏变换公式表
| 函数 $ f(t) $ | 拉氏变换 $ F(s) $ | 条件 | ||
| $ 1 $ | $ \frac{1}{s} $ | $ \text{Re}(s) > 0 $ | ||
| $ t^n $ | $ \frac{n!}{s^{n+1}} $ | $ n \in \mathbb{N}, \text{Re}(s) > 0 $ | ||
| $ e^{at} $ | $ \frac{1}{s - a} $ | $ \text{Re}(s) > a $ | ||
| $ \sin(\omega t) $ | $ \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} $ | $ \text{Re}(s) > 0 $ | ||
| $ \cos(\omega t) $ | $ \frac{s}{s^2 + \omega^2} $ | $ \text{Re}(s) > 0 $ | ||
| $ \sinh(bt) $ | $ \frac{b}{s^2 - b^2} $ | $ \text{Re}(s) > | b | $ |
| $ \cosh(bt) $ | $ \frac{s}{s^2 - b^2} $ | $ \text{Re}(s) > | b | $ |
| $ t e^{at} $ | $ \frac{1}{(s - a)^2} $ | $ \text{Re}(s) > a $ | ||
| $ e^{at} \sin(\omega t) $ | $ \frac{\omega}{(s - a)^2 + \omega^2} $ | $ \text{Re}(s) > a $ | ||
| $ e^{at} \cos(\omega t) $ | $ \frac{s - a}{(s - a)^2 + \omega^2} $ | $ \text{Re}(s) > a $ |
三、注意事项
1. 初值定理与终值定理：
- 初值定理：$ \lim_{t \to 0^+} f(t) = \lim_{s \to \infty} sF(s) $
- 终值定理：$ \lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s) $，前提是极限存在。
2. 线性性质：
$$
\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(s) + b G(s)
$$
3. 微分性质：
- 若 $ \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) $，则 $ \mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0) $
4. 积分性质：
- 若 $ \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) $，则 $ \mathcal{L}\left\{\int_0^t f(\tau) d\tau \right\} = \frac{F(s)}{s} $
四、结语
拉普拉斯变换是一种强大的工具，尤其在处理线性时不变系统时非常有效。掌握常用的拉氏变换公式，有助于快速分析和解决实际问题。在学习过程中，建议结合实例进行练习，以加深理解并提高应用能力。
