【根号x的原函数是多少】在微积分中，求一个函数的原函数（即不定积分）是一个基本问题。对于常见的函数形式，如多项式、指数函数、三角函数等，我们有标准的积分公式。而“根号x”这一表达形式虽然简单，但在实际计算中仍需注意其数学本质。
“根号x”可以写成 $ x^{1/2} $ 的形式，因此求其原函数实际上就是对 $ x^{1/2} $ 进行积分。
一、
根据幂函数的积分法则：
$$
\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)
$$
将 $ n = \frac{1}{2} $ 代入上式，可得：
$$
\int \sqrt{x} \, dx = \int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C
$$
因此，“根号x”的原函数是 $ \frac{2}{3}x^{3/2} + C $，其中 $ C $ 是积分常数。
二、表格展示
| 函数表达式 | 原函数（不定积分） | 积分公式说明 |
| $ \sqrt{x} $ | $ \frac{2}{3}x^{3/2} + C $ | 幂函数积分公式 $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ |
| $ x^{1/2} $ | $ \frac{2}{3}x^{3/2} + C $ | 同上，适用于所有 $ n \neq -1 $ |
三、注意事项
- 积分结果中必须包含常数 $ C $，因为原函数不唯一，相差一个常数的函数导数相同。
- 若题目要求的是定积分，则需要给出积分上下限，并计算具体数值。
- 在实际应用中，根号x的原函数可用于求面积、速度、加速度等物理量的变化率问题。
通过上述分析可以看出，“根号x”的原函数并不复杂，但理解其背后的数学原理有助于更好地掌握积分的基本思想。
