【三角比的所有公式】在数学中，三角比是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等领域。三角比主要包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）等基本函数，以及它们的倒数函数和一些常用公式。以下是对三角比所有主要公式的总结，并以表格形式进行整理，便于查阅和记忆。
一、基本定义
| 函数 | 定义式 | 说明 |
| 正弦 (sin) | $\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$ | 直角三角形中，对边与斜边的比值 |
| 余弦 (cos) | $\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$ | 直角三角形中，邻边与斜边的比值 |
| 正切 (tan) | $\tan \theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ | 对边与邻边的比值 |
| 余切 (cot) | $\cot \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{对边}} = \frac{1}{\tan \theta}$ | 正切的倒数 |
| 正割 (sec) | $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ | 余弦的倒数 |
| 余割 (csc) | $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ | 正弦的倒数 |
二、基本恒等式
| 公式 | 内容 |
| 倒数关系 | $\sin \theta = \frac{1}{\csc \theta}$, $\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta}$, $\tan \theta = \frac{1}{\cot \theta}$ |
| 商数关系 | $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$, $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ |
| 平方关系 | $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$, $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$ |
三、诱导公式（角度变换）
| 角度 | 公式 |
| $\sin(-\theta)$ | $-\sin \theta$ |
| $\cos(-\theta)$ | $\cos \theta$ |
| $\tan(-\theta)$ | $-\tan \theta$ |
| $\sin(\pi - \theta)$ | $\sin \theta$ |
| $\cos(\pi - \theta)$ | $-\cos \theta$ |
| $\sin(\pi + \theta)$ | $-\sin \theta$ |
| $\cos(\pi + \theta)$ | $-\cos \theta$ |
| $\sin(2\pi - \theta)$ | $-\sin \theta$ |
| $\cos(2\pi - \theta)$ | $\cos \theta$ |
四、和差角公式
| 公式 | 内容 |
| $\sin(A \pm B)$ | $\sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ |
| $\cos(A \pm B)$ | $\cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ |
| $\tan(A \pm B)$ | $\frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ |
五、倍角公式
| 公式 | 内容 |
| $\sin 2\theta$ | $2 \sin \theta \cos \theta$ |
| $\cos 2\theta$ | $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta$ |
| $\tan 2\theta$ | $\frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ |
六、半角公式
| 公式 | 内容 |
| $\sin \frac{\theta}{2}$ | $\pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$ |
| $\cos \frac{\theta}{2}$ | $\pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$ |
| $\tan \frac{\theta}{2}$ | $\frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}$ |
七、积化和差公式
| 公式 | 内容 |
| $\sin A \cos B$ | $\frac{1}{2} [\sin(A + B) + \sin(A - B)]$ |
| $\cos A \cos B$ | $\frac{1}{2} [\cos(A + B) + \cos(A - B)]$ |
| $\sin A \sin B$ | $\frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)]$ |
八、和差化积公式
| 公式 | 内容 |
| $\sin A + \sin B$ | $2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A - B}{2} \right)$ |
| $\sin A - \sin B$ | $2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{A - B}{2} \right)$ |
| $\cos A + \cos B$ | $2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A - B}{2} \right)$ |
| $\cos A - \cos B$ | $-2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{A - B}{2} \right)$ |
九、三角函数的图像与性质
| 函数 | 定义域 | 值域 | 周期 | 奇偶性 | 单调性 |
| $\sin x$ | $\mathbb{R}$ | $[-1, 1]$ | $2\pi$ | 奇函数 | 在 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 上递增 |
| $\cos x$ | $\mathbb{R}$ | $[-1, 1]$ | $2\pi$ | 偶函数 | 在 $[0, \pi]$ 上递减 |
| $\tan x$ | $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ | $\mathbb{R}$ | $\pi$ | 奇函数 | 在 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 上递增 |
总结
三角比是数学中非常基础且重要的内容，掌握其基本公式和应用方法，有助于理解更复杂的数学问题。通过上述表格，可以系统地回顾和复习三角比的相关知识，提高学习效率。建议结合图形和实际例子进行理解和记忆，以达到更好的学习效果。
