【对数求导法则公式】在微积分中，对数求导法是一种用于求解复杂函数导数的技巧，尤其适用于幂指函数、乘积或商的复合函数。通过取自然对数，可以将乘积转化为加法、幂次转化为乘法，从而简化求导过程。以下是对数求导法则的总结及常见应用公式。
一、对数求导法则的基本思想
对数求导法的核心思想是：对函数两边同时取自然对数（即以 $ e $ 为底的对数），然后利用对数的性质简化表达式，再对两边求导，最后解出原函数的导数。
二、对数求导法则的步骤
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 设函数为 $ y = f(x) $，且 $ f(x) > 0 $ |
| 2 | 对两边取自然对数：$ \ln y = \ln f(x) $ |
| 3 | 对两边关于 $ x $ 求导：$ \frac{1}{y} \cdot y' = \frac{d}{dx}[\ln f(x)] $ |
| 4 | 解出 $ y' $：$ y' = y \cdot \frac{d}{dx}[\ln f(x)] $ |
| 5 | 将 $ y = f(x) $ 代入，得到最终导数表达式 |
三、常用对数求导公式汇总
| 函数形式 | 取对数后的表达式 | 导数表达式 |
| $ y = u(x)^{v(x)} $ | $ \ln y = v(x) \ln u(x) $ | $ y' = u^v \left[ v' \ln u + v \cdot \frac{u'}{u} \right] $ |
| $ y = \prod_{i=1}^{n} u_i(x) $ | $ \ln y = \sum_{i=1}^{n} \ln u_i(x) $ | $ y' = y \cdot \sum_{i=1}^{n} \frac{u_i'}{u_i} $ |
| $ y = \frac{u(x)}{v(x)} $ | $ \ln y = \ln u - \ln v $ | $ y' = y \left( \frac{u'}{u} - \frac{v'}{v} \right) $ |
| $ y = e^{u(x)} $ | $ \ln y = u(x) $ | $ y' = e^{u(x)} \cdot u'(x) $ |
| $ y = a^{u(x)} $（$ a > 0 $） | $ \ln y = u(x) \ln a $ | $ y' = a^{u(x)} \cdot u'(x) \cdot \ln a $ |
四、适用场景与注意事项
- 适用场景：
- 幂指函数（如 $ x^x $）
- 多个因子相乘或相除的函数
- 需要处理指数和对数混合的函数
- 注意事项：
- 要求原函数 $ f(x) > 0 $，否则无法直接取对数
- 若函数为负数或零，需特别处理或考虑分段定义
- 在实际计算中，应结合链式法则、乘积法则等综合使用
五、示例解析
例1：求 $ y = x^x $ 的导数
解：
1. 取对数：$ \ln y = x \ln x $
2. 求导：$ \frac{1}{y} y' = \ln x + 1 $
3. 解出导数：$ y' = x^x (\ln x + 1) $
例2：求 $ y = \frac{x^2 \cdot e^x}{\sqrt{x}} $ 的导数
解：
1. 取对数：$ \ln y = 2 \ln x + x - \frac{1}{2} \ln x = \frac{3}{2} \ln x + x $
2. 求导：$ \frac{1}{y} y' = \frac{3}{2x} + 1 $
3. 解出导数：$ y' = y \left( \frac{3}{2x} + 1 \right) $
六、结语
对数求导法是一种非常实用的数学工具，尤其在处理复杂函数时能显著简化运算过程。掌握其基本原理和常见公式，有助于提高微积分解题的效率与准确性。通过不断练习和应用，可以更熟练地运用这一方法解决实际问题。
