【直线到圆的距离公式d】在解析几何中，计算直线到圆的距离是一个常见的问题。这个距离可以帮助我们判断直线与圆的位置关系，例如相交、相切或相离。本文将总结直线到圆的距离公式，并通过表格形式清晰展示相关概念和计算方法。

一、基本概念

- 直线：由方程 $ Ax + By + C = 0 $ 表示。

- 圆：由方程 $ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $ 表示，其中 $(a, b)$ 是圆心，$r$ 是半径。

- 直线到圆的距离：指从圆心到直线的垂直距离，记作 $ d $。

二、直线到圆的距离公式

直线到圆的距离公式为：

$$

d = \frac{Aa + Bb + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}

$$

其中：

- $ A, B, C $ 是直线方程 $ Ax + By + C = 0 $ 的系数；

- $ (a, b) $ 是圆心坐标；

- $ r $ 是圆的半径。

三、根据距离判断直线与圆的关系

四、实际应用举例

假设有一条直线 $ x + y - 1 = 0 $，一个圆 $ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4 $，求该直线到圆心的距离：

- 直线方程：$ A = 1, B = 1, C = -1 $

- 圆心：$ (1, 1) $

- 半径：$ r = 2 $

代入公式：

$$

d = \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 - 1}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1 + 1 - 1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707

$$

因为 $ d < r $，所以直线与圆相交。

五、总结

直线到圆的距离是判断直线与圆位置关系的重要依据。通过计算圆心到直线的垂直距离 $ d $，并与圆的半径 $ r $ 进行比较，可以快速判断两者之间的关系。掌握这一公式不仅有助于几何分析，也能在工程、物理等领域中发挥重要作用。

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