【方向导数怎么求例题】方向导数是多元函数在某一点沿某一方向的变化率，它是微积分中一个重要的概念，常用于研究函数在不同方向上的变化趋势。掌握方向导数的计算方法对于理解梯度、极值问题以及物理中的场论等内容有重要意义。
下面我们将通过一个具体例题，详细讲解如何求解方向导数，并以表格形式总结关键步骤和公式。
一、方向导数的基本概念
设函数 $ f(x, y) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 处可微，方向向量为 $ \vec{u} = (u_1, u_2) $，且 $ \vec{u} $ 是单位向量（即 $ \
$$
D_{\vec{u}}f(x_0, y_0) = \nabla f(x_0, y_0) \cdot \vec{u}
$$
其中，$ \nabla f $ 是函数 $ f $ 的梯度向量。
二、例题解析
题目：
已知函数 $ f(x, y) = x^2 + xy + y^2 $，求其在点 $ (1, 1) $ 沿方向 $ \vec{u} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) $ 的方向导数。
解题步骤如下：
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 计算函数的梯度 $ \nabla f $ $ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = (2x + y, x + 2y) $ |
| 2 | 代入点 $ (1, 1) $ $ \nabla f(1, 1) = (2 \cdot 1 + 1, 1 + 2 \cdot 1) = (3, 3) $ |
| 3 | 确定方向向量 $ \vec{u} $ $ \vec{u} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) $，该向量已经是单位向量 |
| 4 | 计算方向导数 $ D_{\vec{u}}f(1, 1) = \nabla f(1, 1) \cdot \vec{u} = (3, 3) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} $ |
三、总结
| 项目 | 内容 |
| 函数 | $ f(x, y) = x^2 + xy + y^2 $ |
| 点 | $ (1, 1) $ |
| 方向向量 | $ \vec{u} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) $ |
| 梯度 | $ \nabla f(1, 1) = (3, 3) $ |
| 方向导数 | $ D_{\vec{u}}f(1, 1) = 3\sqrt{2} $ |
通过这个例子可以看出，求方向导数的关键在于正确计算梯度，并确保方向向量是单位向量。方向导数不仅反映了函数在特定方向上的变化率，还与梯度方向密切相关，是理解多元函数局部行为的重要工具。
免责声明：本答案或内容为用户上传，不代表本网观点。其原创性以及文中陈述文字和内容未经本站证实，对本文以及其中全部或者部分内容、文字的真实性、完整性、及时性本站不作任何保证或承诺，请读者仅作参考，并请自行核实相关内容。 如遇侵权请及时联系本站删除。
