【平面向量的所有公式归纳】在高中数学中，平面向量是一个重要的知识点，涉及向量的表示、运算、性质以及应用。掌握平面向量的相关公式，有助于理解和解决几何、物理等实际问题。以下是对平面向量所有重要公式的系统归纳，便于学习和复习。
一、基本概念
| 概念 | 定义 |
| 向量 | 既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。 |
| 零向量 | 模为0的向量，方向不确定。 |
| 单位向量 | 模为1的向量。 |
| 相等向量 | 方向相同且模相等的向量。 |
| 相反向量 | 方向相反、模相等的向量。 |
二、向量的表示方法
| 表示方式 | 说明 |
| 几何表示 | 用有向线段表示，如 $\vec{AB}$ |
| 坐标表示 | 在坐标系中，向量可表示为 $(x, y)$ |
| 字母表示 | 如 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 等 |
三、向量的加减法
| 公式 | 说明 |
| $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$ | 向量加法：对应分量相加 |
| $\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$ | 向量减法：对应分量相减 |
| $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ | 加法交换律 |
| $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$ | 加法结合律 |
四、向量的数乘
| 公式 | 说明 | ||||||
| $k\vec{a} = (kx, ky)$ | 数乘：向量与实数相乘 | ||||||
| $ | \lambda \vec{a} | = | \lambda | \vec{a} | $ | 数乘的模长 | |
| $\lambda(\mu \vec{a}) = (\lambda\mu)\vec{a}$ | 数乘结合律 | ||||||
| $(\lambda + \mu)\vec{a} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{a}$ | 分配律 |
五、向量的点积（数量积）
| 公式 | 说明 | ||||
| $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \cos\theta$ | 点积定义（θ为夹角） | |
| $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$ | 坐标形式 | ||||
| $\vec{a} \cdot \vec{a} = | \vec{a} | ^2$ | 向量自身点积等于模长平方 | ||
| $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} \perp \vec{b}$ | 点积为零时两向量垂直 |
六、向量的叉积（仅适用于三维空间，但也可用于二维向量的“伪叉积”）
| 公式 | 说明 | ||||||
| $\vec{a} \times \vec{b} = (x_1y_2 - x_2y_1)\vec{k}$ | 二维向量的“伪叉积”结果为一个标量 | ||||||
| $ | \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta$ | 叉积的模长等于平行四边形面积 | |
| $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$ | 叉积反对称性 |
七、向量的模长
| 公式 | 说明 | ||||||||
| $ | \vec{a} | = \sqrt{x^2 + y^2}$ | 向量模长计算公式 | ||||||
| $ | \vec{a} + \vec{b} | \leq | \vec{a} | + | \vec{b} | $ | 三角不等式 | ||
| $ | \vec{a} - \vec{b} | \geq | \vec{a} | - | \vec{b} | $ | 三角不等式的另一种形式 |
八、向量的单位化
| 公式 | 说明 | ||
| $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{ | \vec{a} | }$ | 将向量单位化，得到单位向量 |
| $\hat{a} \cdot \hat{a} = 1$ | 单位向量的模长为1 |
九、向量的投影
| 公式 | 说明 | ||
| $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | ^2} \vec{b}$ | 向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量 |
| $\text{comp}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | }$ | 向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影长度 |
十、向量的夹角
| 公式 | 说明 | ||||
| $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{a} | \vec{b} | }$ | 向量夹角余弦公式 | |
| $\theta = \arccos\left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{a} | \vec{b} | } \right)$ | 夹角计算公式 |
十一、向量的共线与垂直
| 条件 | 说明 |
| $\vec{a} \parallel \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} = k\vec{b}$ | 向量共线（方向相同或相反） |
| $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ | 向量垂直 |
十二、向量的坐标表示与运算
| 运算 | 公式 |
| 向量加法 | $(x_1 + x_2, y_1 + y_2)$ |
| 向量减法 | $(x_1 - x_2, y_1 - y_2)$ |
| 数乘 | $(kx, ky)$ |
| 点积 | $x_1x_2 + y_1y_2$ |
| 模长 | $\sqrt{x^2 + y^2}$ |
通过以上整理，可以清晰地看到平面向量的基本概念、运算规则及相关公式。这些内容是解决向量问题的基础，建议在学习过程中多做练习题以加深理解。
