【等差数列和等比数列的通项公式】在数学中，数列是按一定顺序排列的一组数。其中，等差数列和等比数列是最常见的两种数列类型，它们的通项公式具有重要的应用价值。以下是对这两种数列通项公式的总结与对比。
一、等差数列的通项公式
定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个常数，那么这个数列称为等差数列。这个常数称为公差，记作 $ d $。
通项公式：
设首项为 $ a_1 $，公差为 $ d $，则第 $ n $ 项（即通项）为：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
说明：
- $ a_n $ 表示第 $ n $ 项；
- $ a_1 $ 是数列的第一项；
- $ d $ 是相邻两项的差；
- $ n $ 是项数，取正整数。
二、等比数列的通项公式
定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是一个常数，那么这个数列称为等比数列。这个常数称为公比，记作 $ r $。
通项公式：
设首项为 $ a_1 $，公比为 $ r $，则第 $ n $ 项（即通项）为：
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n - 1}
$$
说明：
- $ a_n $ 表示第 $ n $ 项；
- $ a_1 $ 是数列的第一项；
- $ r $ 是相邻两项的比值；
- $ n $ 是项数，取正整数。
三、通项公式对比表
| 特征 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每项与前一项的差为常数 | 每项与前一项的比为常数 |
| 公差/公比 | 公差 $ d $ | 公比 $ r $ |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} $ |
| 数列变化趋势 | 均匀递增或递减 | 指数增长或衰减 |
| 典型例子 | 2, 5, 8, 11, 14,… （$ d = 3 $） | 3, 6, 12, 24, 48,… （$ r = 2 $） |
四、总结
等差数列和等比数列是数列研究中的基础内容，掌握它们的通项公式有助于解决许多实际问题，如金融计算、几何问题、数据预测等。理解两者的区别与联系，可以更灵活地运用这些知识进行数学分析和建模。
通过表格对比可以看出，两者在结构上虽有相似之处，但在变化规律和公式形式上有明显不同，需要根据具体问题选择合适的模型进行分析。
