【立方和与立方差公式的推导过程】在代数学习中，立方和与立方差公式是重要的运算工具，广泛应用于多项式分解、方程求解等领域。本文将通过逐步推导的方式，展示立方和与立方差公式的来源，并以表格形式总结关键步骤。
一、立方和公式的推导
公式：
$$ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $$
推导过程：
1. 展开右边表达式：
$$(a + b)(a^2 - ab + b^2)$$
使用乘法分配律进行展开：
$$
a(a^2 - ab + b^2) + b(a^2 - ab + b^2)
$$
2. 逐项计算：
- 第一项：$ a \cdot a^2 = a^3 $
- 第二项：$ a \cdot (-ab) = -a^2b $
- 第三项：$ a \cdot b^2 = ab^2 $
- 第四项：$ b \cdot a^2 = a^2b $
- 第五项：$ b \cdot (-ab) = -ab^2 $
- 第六项：$ b \cdot b^2 = b^3 $
3. 合并同类项：
- $ a^3 $
- $ -a^2b + a^2b = 0 $
- $ ab^2 - ab^2 = 0 $
- $ b^3 $
4. 最终结果：
$$
a^3 + b^3
$$
因此，验证了：
$$
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
$$
二、立方差公式的推导
公式：
$$ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $$
推导过程：
1. 展开右边表达式：
$$(a - b)(a^2 + ab + b^2)$$
同样使用乘法分配律：
$$
a(a^2 + ab + b^2) - b(a^2 + ab + b^2)
$$
2. 逐项计算：
- 第一项：$ a \cdot a^2 = a^3 $
- 第二项：$ a \cdot ab = a^2b $
- 第三项：$ a \cdot b^2 = ab^2 $
- 第四项：$ -b \cdot a^2 = -a^2b $
- 第五项：$ -b \cdot ab = -ab^2 $
- 第六项：$ -b \cdot b^2 = -b^3 $
3. 合并同类项：
- $ a^3 $
- $ a^2b - a^2b = 0 $
- $ ab^2 - ab^2 = 0 $
- $ -b^3 $
4. 最终结果：
$$
a^3 - b^3
$$
因此，验证了：
$$
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
$$
三、总结对比表
| 公式类型 | 公式表达式 | 推导方式 | 关键项 |
| 立方和 | $ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $ | 展开右端并合并同类项 | $ a^2 - ab + b^2 $ |
| 立方差 | $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $ | 展开右端并合并同类项 | $ a^2 + ab + b^2 $ |
通过上述推导过程可以看出，立方和与立方差公式本质上是通过对多项式进行因式分解得出的。掌握这些公式的推导方法，有助于加深对代数结构的理解，并提升解决复杂代数问题的能力。
