【高中数学期望常用公式】在高中数学中，期望是概率论中的一个重要概念，常用于描述随机变量在大量重复试验中取值的平均趋势。掌握期望的相关公式，有助于学生在实际问题中进行合理的预测和分析。以下是对高中数学中常见期望公式的总结。
一、基本概念
- 随机变量：在一定条件下可能出现的不同结果的变量。
- 期望（Expectation）：表示随机变量在长期试验中平均取值的大小，记作 $ E(X) $ 或 $ \mu $。
二、期望的定义与计算公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 离散型随机变量期望 | $ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i) $ | 其中 $ x_i $ 是随机变量的可能取值，$ P(x_i) $ 是对应的概率 |
| 连续型随机变量期望 | $ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx $ | 其中 $ f(x) $ 是概率密度函数 |
| 线性性质 | $ E(aX + b) = aE(X) + b $ | $ a $ 和 $ b $ 为常数 |
| 期望的加法性质 | $ E(X + Y) = E(X) + E(Y) $ | 对任意两个随机变量 $ X $、$ Y $ 都成立 |
三、常见分布的期望公式
| 分布类型 | 概率质量函数/密度函数 | 期望公式 |
| 两点分布（0-1分布） | $ P(X = k) = p^k(1-p)^{1-k} $，$ k = 0,1 $ | $ E(X) = p $ |
| 二项分布 $ B(n, p) $ | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ E(X) = np $ |
| 泊松分布 $ P(\lambda) $ | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ E(X) = \lambda $ |
| 均匀分布 $ U[a,b] $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $，$ a \leq x \leq b $ | $ E(X) = \frac{a + b}{2} $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ E(X) = \mu $ |
四、期望的应用场景
1. 游戏与赌博：计算期望收益，判断是否公平。
2. 保险精算：评估风险损失的平均值。
3. 投资决策：衡量不同投资方案的预期回报。
4. 统计推断：作为估计量的无偏性判断依据。
五、注意事项
- 期望只是一个平均值，并不能完全代表所有情况。
- 在计算期望时，需确保概率总和为1。
- 复杂随机变量的期望可通过分解为简单变量的线性组合来求解。
通过以上内容的整理，可以系统地掌握高中数学中关于期望的基本知识与常用公式。在实际应用中，灵活运用这些公式，能够帮助我们更好地理解和解决概率与统计相关的问题。
