【几何平均数公式和定义】几何平均数是统计学中一种重要的平均数计算方式，常用于计算比率或增长率等具有乘法性质的数据。与算术平均数不同，几何平均数更适用于数据之间存在比例关系的情况，如投资回报率、人口增长、产品性能变化等。
一、几何平均数的定义
几何平均数（Geometric Mean）是指将一组正数相乘后，再开n次方（n为数据个数）所得到的数值。其基本思想是通过乘法的方式反映数据之间的相对变化，而不是简单的加法。
例如，如果有三个数：a、b、c，则它们的几何平均数为：
$$
\sqrt[3]{a \times b \times c}
$$
二、几何平均数的适用场景
1. 增长率计算：如年均增长率、投资回报率等。
2. 指数变化：如价格指数、经济指标的变化。
3. 多变量比较：如多个因素共同影响的结果。
三、几何平均数的优缺点
| 优点 | 缺点 |
| 更适合处理比例数据和增长率 | 计算复杂度较高 |
| 受极端值影响较小 | 需要所有数据均为正数 |
| 能更好地反映数据的相对变化 | 不适合非正数或零的数据 |
四、几何平均数的计算公式
对于n个正数 $ x_1, x_2, ..., x_n $，几何平均数的计算公式为：
$$
GM = \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times ... \times x_n}
$$
也可以表示为：
$$
GM = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{1/n}
$$
五、几何平均数与算术平均数的区别
| 特征 | 几何平均数 | 算术平均数 |
| 计算方式 | 相乘后开n次方 | 相加后除以n |
| 适用性 | 比例数据、增长率 | 一般数据、均匀分布 |
| 对极端值敏感度 | 较低 | 较高 |
| 结果范围 | 小于或等于算术平均数 | 通常较大 |
六、举例说明
假设某公司三年的利润增长分别为：10%、20%、5%，则其年均增长率可使用几何平均数计算：
$$
GM = \sqrt[3]{1.10 \times 1.20 \times 1.05} = \sqrt[3]{1.386} \approx 1.114
$$
即年均增长率为约11.4%。
总结：
几何平均数是一种基于乘法关系的平均数，适用于描述增长率、比例变化等场景。相比算术平均数，它更能反映数据之间的相对变化趋势，但在计算时需要注意数据必须为正数，并且对极端值的敏感性较低。在实际应用中，应根据数据特点选择合适的平均数类型。
